• A kör és a fémes arányok – általános és speciális esetek

Erdélyi Márton

ESZC Bottyán János Technikum, Esztergom

Konzulens:
Veszter Vilmos

A kör és a fémes arányok – általános és speciális esetek

Apollóniusz megfogalmazott egy tételt, mely két fix ponttal és egy arányszámmal meghatároz egy kört. A jelenséggel, az aranymetszés számával - a φ-vel (fi) - kapcsolatban a pályázó elkezdett foglalkozni, így a tanulmányban is a legnagyobb hangsúlyt arra az esetre fekteti, mikor az aranyszám egyenlő az előbbi állandóval. Márton kíváncsi volt arra is, hogy miként változnak a különböző ábrák tulajdonságai azzal, hogy ha változtatjuk az arányszámot.
A pályázó megfogalmazott olyan képleteket, melyek az esetek összességét foglalják magukba, így már összehasonlíthatóak. A φ mellett még két olyan számot talált, ami kiemelkedik a többi közül. Ezen számok mindegyike egy fémes arány. Az aranymetszés gyakran előfordul a természetben, művészetben és különböző matematikai jelenségekben, viszont a másik két szám nagyon ritkán vagy szinte soha nem bukkan fel ezeken a területeken, így emiatt érdekes, hogy ez a jelenség összekapcsolja őket egyetlen geometriai jelenségben.
A φ tulajdonságainak köszönhetően a vele készített ábra két különböző állásában felfedezhető egy szakaszpár, melyek hasonlóak, de különböző méretűek. Ezt felhasználva fraktál képezhető az ábrából. A fraktálban megfigyelhető a fi alapú logaritmikus spirál, más néven az aranyspirál is. Emellett sok egyéb érdekes tulajdonsága van és tovább boncolgatja a φ természetét.